Consigne: On suppose que la forme bilinéaire \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) de dimension finie telle que \(\sigma\) possède une matrice symétrique (resp. Antisymétrique)
Montrer que pour toute base, \(\sigma\) possède le même type de matrice

Formule de changement de base
Soit \(A\) la matrice de \(\sigma\) dans la base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) et \(b\) celle dans la base \(\{v_i\}^n_{i=1}\)
Alors il existe une matrice de passage \(P\) de \(\{e_i\}^n_{i=1}\) à \(\{v_i\}^n_{i=1}\) telle que $$B=P^TAP$$

Si \(A\) est symétrique, alors \(A^T=A\) et donc : $$\begin{align} B^T&=(P^TAP)^T\\ &=P^TA^T(P^T)^T\\ &=P^TAP\\ &=B\end{align}$$ donc \(B\) est également symétrique
Idem pour \(A\) antisymétrique